СКЛАДУ ЗНО — математика

Вариант № 1169

На діаграмі показано середньомісячну температуру повітря в Рівному за кожен місяць 1973 року. По горизонталі вказуються місяці, вертикалі — температура в градусах Цельсія. Визначте за діаграмою, на скільки градусів Цельсія березень був у середньому холодніший за серпень.

А) 22

Б) 14

В) 18

Г) 16

Д) 20

Зріст людини 6 футів 1 дюйм. Виразіть його ріст в сантиметрах, якщо 1 фут дорівнює 12 дюймів. Вважайте, що 1 дюйм дорівнює 2,54 см. Результат округліть до цілого числа в сантиметрах.

А) 188

Б) 190

В) 176

Г) 185

Д) 179

Конус виходить при обертанні рівнобедреного прямокутного трикутника ABC навколо катета, що дорівнює 6. Знайдіть його об’єм, поділений на $Пи .$

А) 36

Б) 24

В) 56

Г) 72

Д) 96

Знайдіть корінь рівняння $2 плюс 9x=4x плюс 3.$

А) 1

Б) 0,5

В) 0,2

Г) -0,4

Д) 0,6

На малюнку зображено трикутник ABC, у якому ∠ ACB = 35°, ∠ AMN = 107°. Використовуючи дані малюнка, знайдіть градусну міру кута BAC.

А) 60°

Б) 55°

В) 38°

Г) 30°

Д) 25°

Графік функції, заданої формулою y = kx + b симетричний щодо початку координат і проходить через точку A (2; 10). Значення виразу k + b одно:

А) −8

Б) 2

В) 5

Г) 10

Д) 12

Спростіть вираз $дробь: числитель: x в квадрате плюс 4x плюс 4, знаменатель: x в квадрате плюс 2x конец дроби : дробь: числитель: x в квадрате минус 4, знаменатель: x в кубе конец дроби$ .

А) $дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: x в степени 4 конец дроби$

Б) $дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: x минус 2 конец дроби$

В) $дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x минус 2 конец дроби$

Г) $дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: x плюс 2 конец дроби$

Д) $дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 2 минус x конец дроби$

Площа ромбу $S левая круглая скобка в м в квадрате правая круглая скобка$ можна обчислити за формулою $S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби d_1 d_2$ , де $d_1, d_2$ - Діагоналі ромба (в метрах). Використовуючи цю формулу, знайдіть діагональ $d_1$ , якщо діагональ $d_2$ дорівнює 30 м, а площа ромба 120 м² .

А) 12

Б) 8

В) 56

Г) 40

Д) 24

Спростіть вираз

$левая круглая скобка 5 плюс дробь: числитель: 25b в квадрате плюс c в квадрате минус a в квадрате , знаменатель: 2bc конец дроби правая круглая скобка : левая круглая скобка a плюс 5b плюс c правая круглая скобка умножить на 2bc.$

А) $5b плюс c плюс a$

Б) $5b плюс c минус a$

В) $4b в квадрате c в квадрате$

Г) $5$

Д) $5b минус c минус a$

10.  

а рисунку зображено паралелограм ABCD. Які з наведених тверджень є правильними?

I. $\angle ABC плюс \angle BCD = 180 градусов .$

II. $AB = CD.$

III. $AC \perp BD.$

А) лише І

Б) лише II і III

В) лише І i ІІ

Г) лише І і III

Д) лише II

11.  

Розв’яжіть систему рівнянь

$система выражений xy= минус 12,x левая круглая скобка 2y минус 1 правая круглая скобка = минус 18. конец системы .$

Якщо (x₀; y₀) — розв’язок системи, то x₀ = 

А) −6

Б) −16

В) −9

Г) 2

Д) 6

12.  

Якщо $y= левая круглая скобка 4 x минус 1 правая круглая скобка в кубе ,$ то похідна від y дорівнює?

А) $3 левая круглая скобка 4x минус 1 правая круглая скобка в квадрате$

Б) $3 левая круглая скобка 4x минус 1 правая круглая скобка$

В) $дробь: числитель: левая круглая скобка 4x минус 1 правая круглая скобка в степени 4 , знаменатель: 16 конец дроби$

Г) $12 левая круглая скобка 4x минус 1 правая круглая скобка в квадрате$

Д) $дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка 4x минус 1 правая круглая скобка в квадрате$

13.  

Розв’яжіть нерівність $дробь: числитель: x плюс 3, знаменатель: x минус 2 конец дроби больше 0.$

А) $левая круглая скобка минус бесконечность ;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка$

Б) $левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка$

В) (−3; 2)

Г) (−2; 3)

Д) $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка$

14.  

Знайдіть $2 косинус 2 альфа ,$ якщо $синус альфа = минус 0,7.$

А) 0,4

Б) 2

В) 0,02

Г) 0,04

Д) 0,2

15.  

Знайдіть сторону квадрата, площа якого дорівнює площі прямокутника зі сторонами 4 та 9.

А) 3

Б) 6

В) 12

Г) 36

Д) 1

16.  

Похилий дах встановлений на трьох вертикальних опорах, розташованих на одній прямій. Середня опора стоїть посередині між малою та великою опорами (див. рис.). Висота малої опори 1,8 м, висота великої опори 2,8 м. Знайдіть висоту середньої опори.

А) 2,3

Б) 2,4

В) 2,5

Г) 2,6

Д) 2,2

Решение. Вершина B прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ совпадает с точкой начала координат. Ребра BA, BC, BB₁ параллелепипеда принадлежат на осях x, y, z соответственно, поэтому плоскости, содержащие грани параллелепипеда, перпендикулярны соответствующим осям координат. Вершина D₁ имеет координаты (4; 8; 12), по ним можно определить координаты остальных вершин параллелепипеда. Точка A является точкой пересечения плоскости, которая проходит через точку D₁ перпендикулярно оси x, поэтому абсцисса точки A совпадает с абсциссой точки D₁, они равны 4. Координаты y и z точки A равны 0, так как точка A лежит на оси x. Поэтому A (4; 0; 0). Аналогично определим координаты точки C: (0; 8; 0).

1. Точка M — середина отрезка BC. Ее координаты можно определить по формуле:

$x_M = дробь: числитель: x_B плюс x_C, знаменатель: 2 конец дроби ;$ $y_M = дробь: числитель: y_B плюс y_C, знаменатель: 2 конец дроби ;$ $z_M = дробь: числитель: z_B плюс z_C, знаменатель: 2 конец дроби .$

Координаты середины отрезка BC найдем по формуле:

$левая круглая скобка дробь: числитель: 0 плюс 0, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 0 плюс 8, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 0 плюс 0, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Итак, 1 — Г.

2. Для того, чтобы найти координаты вектора $\overrightarrowBA,$ вычтем из координат конечной точки координаты точки начала вектора:

$\overrightarrowBA левая круглая скобка 4 минус 0; 0 минус 0; 0 минус 0 правая круглая скобка = левая круглая скобка 0; 4; 0 правая круглая скобка .$

Итак, 2 — Б.

Отметим, что если точка, являющаяся началом вектора, совпадает с точкой начала координат, то координаты вектора совпадают с координатами его конечной точки.

3. Ребро DD₁ параллельно оси z. Значит, координаты каждой точки, принадлежащей данному ребру, имеют вид (4; 8; z), причем $z принадлежит левая квадратная скобка 0; 12 правая квадратная скобка .$ Точка, удаленная от вершины D на 4 единицы и лежащая на ребре DD₁, имеет координаты (4; 8; 4). Таким образом, 3 — Д.

4. Координатная плоскость yz задается уравнением x = 0. Рассматривая точку C₁ как проекцию точки D₁ на плоскость yz, получим ее координаты: (0; 8; 12). Следовательно, 4 — А.

Ответ: 1 — Г, 2 — Б, 3 — Д, 4 — А.

21.  

У бібліотеці є лише підручники, словники, довідники та книги з художньої літератури. Відсотковий розподіл кількості цих книг у бібліотеці відображено на діаграмі.

1. Визначте загальну кількість книг у цiй бiблiотецi, якщо кiлькiсть пiдручникiв дорiвнює 72.

Відповідь:

2. Скільки потрібно придбати додатково підручників, щоб отримана після цього їхня сумарна кількість відносилася до кількості довідників як 4:1?

Відповідь:

22.  

На рисунку зображено прямокутник ABCD й коло, яке дотикаеться до сторони AB й сторін BC й AD в точках M і K відповідно. Периметр чотирикутника ABMK дорівнюе 24 см, а довжина відрізка KC — 17 см.

1. Визначте радіус (у см) заданого кола.

Відповідь:

2. Обчисліть площу (у см²) прямокутника ABCD.

Відповідь:

23.  

У прямокутній системі координат у просторі задано точки А(−7; 4; −3) і B(17; −4; 3). Точка С є серединою відрізка АВ.

1. Визначте абсцису точки С.

Відповідь:

2. Обчислiть довжину (модуль) вектора $\overrightarrowAC.$

Відповідь:

24.  

Арифметичну прогресію (a_n) задано формулою n-го члена: $a_n=5 минус 3,6 n.$

1. Визначте шостий член піеї прогресії.

Відповідь:

2. Визначте різнищю $a_4 минус a_2.$

Відповідь:

25.  

Імовірність того, що на тестуванні з математики учень П. правильно вирішить більше 12 завдань, дорівнює 0,7. Імовірність того, що П. правильно вирішить більше 11 завдань, дорівнює 0,79. Знайдіть ймовірність того, що П. правильно вирішить рівно 12 завдань.

26.  

З двох міст, відстань між якими дорівнює 560 км, назустріч один одному одночасно виїхали два автомобілі. Через скільки годин автомобілі зустрінуться, якщо їхні швидкості дорівнюють 65 км/год та 75 км/год?

27.  

Нехай логарифм b на основі a дорівнює 2, знайдіть $\ левая квадратная скобка 3\log _ дробь: числитель: a в кубе , знаменатель: b конец дроби дробь: числитель: корень из: начало аргумента: a конец аргумента , знаменатель: корень 3 степени из: начало аргумента: b конец аргумента конец дроби плюс \log _ дробь: числитель: a в кубе , знаменатель: b конец дроби b\ правая квадратная скобка$ .

28.  

Розв'яжіть рівняння $x в степени 4 минус 2x в квадрате минус 15 = 0.$ У відповідь запишіть добуток усіх його дійсних коренів.

29.  

В Оленки є 8 різних фотографій з її зображенням та 6 різних фотографій її класу. Скільки всього в неї є способів вибрати з них 3 фотографії зі своїм зображенням для персональної сторінки в соціальній мережі та 2 фотографії свого класу для сайту школи?

30.  

x	y
0
	0
9

Задано функцiю $y = корень из: начало аргумента: x конец аргумента минус 2.$

1. Для наведених у таблиці значень х та у заданої функції визначте відповідні їм значення у та х. Результати запишіть у таблицю.

2. Побудуйте графік функції $y = корень из: начало аргумента: x конец аргумента минус 2.$

3. Позначте на рисунку точки перетину графіка функції з осями координат та укажіть координати цих точок.

4. Знайдіть одну з первісних $F левая круглая скобка x правая круглая скобка$ для функції $f левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: x конец аргумента минус 2.$

5. Запишіть формулу для обчислення площі S фігури, обмеженої графіком функції f та осями координат.

6. Обчисліть площу S цієї фігури.

31.  

Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює 4. Бічні ребра нахилені до основи під кутом α.

а) Зобразіть на малюнку цю піраміду та кут α.

б) Знайдіть площу повної поверхні піраміди.

в) Знайдіть об'єм піраміди.

Решение. Пусть SABC  — правильная треугольная пирамида с вершиной S и основанием АВС, точка О  — центр основания. Проведём высоту пирамиды SO и радиус описанной вокруг основания окружности OB. Прямая ОВ является проекцией наклонной SB на плоскость основания, поэтому угол SBC это угол наклона бокового ребра к плоскости основания, то есть угол α. Далее, проведём апофему SL боковой грани SBC и радиус вписанной в основание окружности OL. Прямая ОL является проекцией наклонной SL на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах из взаимной перпендикулярности прямых OL и BC следует взаимная перпендикулярность прямых SL и BC. Следовательно, прямые SL и OL суть перпендикуляры к ребру двугранного угла между плоскостями SBC и ABC, а потому угол SLO  — линейный угол двугранного угла при основании. Обозначим его β.

Найдем угол β через угол α. Выразим высоту SO пирамиды из прямоугольных треугольников SOB и SOL, получим:

$SO=OB тангенс альфа ,$

$SO=OL тангенс бета .$

Приравнивая полученные выражения, находим, что: $OB тангенс альфа =OL тангенс бета ,$ откуда

$тангенс бета = дробь: числитель: OB, знаменатель: OL конец дроби тангенс альфа .$

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности вдвое больше радиуса вписанной окружности. Поэтому для треугольной пирамиды

$тангенс бета =2 тангенс альфа равносильно тангенс бета =2 тангенс альфа равносильно бета = арктангенс левая круглая скобка 2 тангенс альфа правая круглая скобка .$

Выразим OL и SO:

$OL=SL умножить на косинус бета =4 косинус арктангенс левая круглая скобка 2 тангенс альфа правая круглая скобка ,$

$SO=SL умножить на синус бета =4 синус арктангенс левая круглая скобка 2 тангенс альфа правая круглая скобка .$

Отметим, что в равностороннем треугольнике $OL= дробь: числитель: BC, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби ,$ откуда

$BC=2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на 4 косинус арктангенс левая круглая скобка 2 тангенс альфа правая круглая скобка =8 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус арктангенс левая круглая скобка 2 тангенс альфа правая круглая скобка .$

Площадь полной поверхности пирамиды равна

$S=S_осн плюс S_бок= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби BC в квадрате плюс 3 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC умножить на SL=$
$= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби умножить на 192 косинус в квадрате арктангенс левая круглая скобка 2 тангенс альфа правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 8 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус арктангенс левая круглая скобка 2 тангенс альфа правая круглая скобка умножить на 4=$
$=48 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате арктангенс левая круглая скобка 2 тангенс альфа правая круглая скобка плюс 48 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус арктангенс левая круглая скобка 2 тангенс альфа правая круглая скобка .$

Найдем объем пирамиды:

$V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_осн умножить на SO= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 48 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате арктангенс левая круглая скобка 2 тангенс альфа правая круглая скобка умножить на 4 синус арктангенс левая круглая скобка 2 тангенс альфа правая круглая скобка =$
$=64 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате арктангенс левая круглая скобка 2 тангенс альфа правая круглая скобка умножить на синус арктангенс левая круглая скобка 2 тангенс альфа правая круглая скобка .$ $V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_осн умножить на SO=$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 48 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате арктангенс левая круглая скобка 2 тангенс альфа правая круглая скобка умножить на 4 синус арктангенс левая круглая скобка 2 тангенс альфа правая круглая скобка =$
$=64 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате арктангенс левая круглая скобка 2 тангенс альфа правая круглая скобка умножить на синус арктангенс левая круглая скобка 2 тангенс альфа правая круглая скобка .$

Ответ: 1) см. рис.; 2) $48 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате арктангенс левая круглая скобка 2 тангенс альфа правая круглая скобка плюс 48 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус арктангенс левая круглая скобка 2 тангенс альфа правая круглая скобка ;$ 3) $64 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате арктангенс левая круглая скобка 2 тангенс альфа правая круглая скобка умножить на синус арктангенс левая круглая скобка 2 тангенс альфа правая круглая скобка .$

32.  

Відповідно до умови завдання 31 (№ 3504) апофема правильної трикутної піраміди дорівнює 5. Бічні ребра нахилені до основи під кутом α.

а) Зобразіть на малюнку цю піраміду та вкажіть плоский кут при вершині.

б) Знайдіть цей кут.

33.  

Доведіть рівність $синус 7 альфа косинус альфа минус синус 6 альфа косинус 2 альфа = синус альфа косинус 5 альфа .$

34.  

Задана система неравенств

$система выражений a плюс 3x меньше или равно 12,a плюс 4x больше или равно x в квадрате ,a меньше или равно x конец системы .$

где x  — переменная, a  — параметр.

1.  Решите систему неравенств при $a=0.$

2.  Найдите все значения параметра a, при каждом из которых решением системы неравенств является отрезок длиной 2.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1424	5
2	1418	4
3	2331	4
4	1429	3
5	2112	3
6	2076	3
7	2157	2
8	1442	2
9	2160	2
10	1033	3
11	932	1
12	665	4
13	767	5
14	1482	4
15	1489	2
16	1501	1
17	1007	Д Г В А
18	1212	Г В А
19	1277	Г Д А
20	805	Г Б Д А
21	739	126
22	1280	4 152
23	1349	5 13
24	1248	-16,6 -7,2
25	3338	0,09
26	3318	4
27	3369	1,5
28	3303	-5
29	947	840
30	3502	1) см. рис.; 2) $48 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате арктангенс левая круглая скобка 2 тангенс альфа правая круглая скобка плюс 48 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус арктангенс левая круглая скобка 2 тангенс альфа правая круглая скобка ;$ 3) $64 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус в квадрате арктангенс левая круглая скобка 2 тангенс альфа правая круглая скобка умножить на синус арктангенс левая круглая скобка 2 тангенс альфа правая круглая скобка .$
31	3560	1)   $левая квадратная скобка 0;4 правая квадратная скобка ;$ 2)   $a= минус 3$ или $a= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ключ