Ре­ше­ние.

Пусть SABC  — пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да с вер­ши­ной S и ос­но­ва­ни­ем АВС, точка О  — центр ос­но­ва­ния. Про­ведём вы­со­ту пи­ра­ми­ды SO и ра­ди­ус опи­сан­ной во­круг ос­но­ва­ния окруж­но­сти OB. Пря­мая ОВ яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей на­клон­ной SB на плос­кость ос­но­ва­ния, по­это­му угол SBC это угол на­кло­на бо­ко­во­го ребра к плос­ко­сти ос­но­ва­ния, то есть угол α. Далее, про­ведём апо­фе­му SL бо­ко­вой грани SBC и ра­ди­ус впи­сан­ной в ос­но­ва­ние окруж­но­сти OL. Пря­мая ОL яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей на­клон­ной SL на плос­кость ос­но­ва­ния. По тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах из вза­им­ной пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мых OL и BC сле­ду­ет вза­им­ная пер­пен­ди­ку­ляр­ность пря­мых SL и BC. Сле­до­ва­тель­но, пря­мые SL и OL суть пер­пен­ди­ку­ля­ры к ребру дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми SBC и ABC, а по­то­му угол SLO  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла при ос­но­ва­нии. Обо­зна­чим его β.

Най­дем угол β через угол α. Вы­ра­зим вы­со­ту SO пи­ра­ми­ды из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков SOB и SOL, по­лу­чим:

При­рав­ни­вая по­лу­чен­ные вы­ра­же­ния, на­хо­дим, что: от­ку­да

В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти вдвое боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной окруж­но­сти. По­это­му для тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды

Вы­ра­зим OL и SO:

От­ме­тим, что в рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке от­ку­да

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна

Най­дем объем пи­ра­ми­ды:

 

Ответ: 1) см. рис.; 2) 3)