СКЛАДУ ЗНО — математика

Круглі тіла

1.  Тип 20 № 738 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2016 року з математики — основна сесія

Классификатор стереометрии: 4\.1\. Площадь поверхности многогранников, 4\.3\. Площадь поверхности круглых тел

Справедливість тверджень стереометрії. Круглі тіла

Установіть відповідність між геометричним тілом (1−4) та площею його повної поверхні (А−Д).

Геометричне тіло

1.    конус з радіусом основи 3 та твірною 5

2.    циліндр з радіусом основи 3 та висотою 4

3.    куля радіуса $2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$

4.    куб з ребром $корень из: начало аргумента: 3 Пи конец аргумента$

Площа повної поверхні

А    $18 Пи$

Б    $24 Пи$

В    $36 Пи$

Г    $42 Пи$

Д    $48 Пи$

Решение. Найдем площадь полной поверхности каждого геометрического тела (1−4).

1. Для определения площади полной поверхности конуса необходимо знать радиус его основания R и длину образующей L:

$S=S_бок. плюс S_осн.= Пи R L плюс Пи R в квадрате = Пи R левая круглая скобка L плюс R правая круглая скобка .$

Поскольку $R=3, L=5,$ то $S=3 Пи левая круглая скобка 5 плюс 3 правая круглая скобка =24 Пи .$ Следовательно, 1 — Б.

2. Площадь полной поверхности цилиндра, радиус основания которого равен R, а высота — H, можно вычислить по формуле

$S=S_бок. плюс 2 S_осн.=2 Пи R H плюс 2 Пи R в квадрате =2 Пи R левая круглая скобка H плюс R правая круглая скобка .$

По условию $R=3,$ $H=4,$ тогда $S=2 Пи умножить на 3 левая круглая скобка 3 плюс 4 правая круглая скобка =42 Пи .$ Итак, 2 — Г.

3. Площадь поверхности шара, радиус которого равен R, можно определить по формуле $S=4 Пи R в квадрате .$ По условию $R=2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ тогда

$S=4 Пи левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате =4 Пи умножить на 12=48 Пи .$

Тогда 3 — Д.

4. Площадь полной поверхности куба, длина ребра которого равна $a= корень из: начало аргумента: 3 Пи конец аргумента ,$ можно вычислить по формуле

$S=6 a в квадрате =6 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 Пи конец аргумента правая круглая скобка в квадрате =6 умножить на 3 Пи =18 Пи .$

Получаем: 4 — А.

Ответ: 1 — Б, 2 — Г, 3 — Д, 4 — А.

Ответ: Б&Г&Д&А

738

Б Г Д А

Источник: ЗНО 2016 року з математики — основна сесія

Классификатор стереометрии: 4\.1\. Площадь поверхности многогранников, 4\.3\. Площадь поверхности круглых тел

2.  Тип 20 № 772 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2016 року з математики — додаткова сесія

Классификатор стереометрии: 3\.15\. Цилиндр, 4\.3\. Площадь поверхности круглых тел, 4\.4\. Объемы круглых тел

Справедливість тверджень стереометрії. Круглі тіла

На рисунку зображено циліндр, радіус основи якого дорівнює 6, а висота — h. Чотирикутник ABCD — осьовий переріз цього циліндра. До кожного початку речення (1−4) доберіть його закінчення (А−Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1 Периметр чотирикутника ABCD дорівнює 36, якщо

2 Площа чотирикутника ABCD дорівнює 42, якщо

3 Об’єм циліндра дорівнює $108 Пи ,$ якщо

4 Площа бічної поверхні циліндра дорівнює $48 Пи ,$ якщо

Закінчення речення

А h  = 3

Б h  = 3,5

В h  = 4

Г h  = 4,5

Д h  = 6

Решение. Четырехугольник ABCD — прямоугольник со сторонами h и $2r=12.$ Значит его периметр равен $2h плюс 24,$ что равно 36 при $h=6.$ А его площадь равна 12h, что равно 42, если $h= дробь: числитель: 42, знаменатель: 12 конец дроби =3,5.$ Объем цилиндра равен $Пи r в квадрате h= Пи умножить на 36h,$ что равно $108 Пи ,$ если $h=3.$ Площадь боковой поверхности цилиндра равна $2 Пи rh=2 Пи умножить на 6h=12 Пи h,$ что равно $48 Пи ,$ если $h=4.$

Ответ: 1 — Д, 2 — Б, 3 — А, 4 — В.

Ответ: Д&Б&А&В

772

Д Б А В

Источник: ЗНО 2016 року з математики — додаткова сесія

Классификатор стереометрии: 3\.15\. Цилиндр, 4\.3\. Площадь поверхности круглых тел, 4\.4\. Объемы круглых тел

3.  Тип 20 № 840 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2017 року з математики — основна сесія

Методы геометрии: Теорема Пифагора

Классификатор стереометрии: 3\.16\. Конус, 4\.3\. Площадь поверхности круглых тел

Справедливість тверджень стереометрії. Круглі тіла

Радіус основи конуса дорівнює r, а твірна — l. До кож ного початку речення (1−4) доберіть його закінчення (А−Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1.    Якщо площа бічної поверхні конуса втричі більш а за площу його основи, то

2.    Якщо висота конуса дорівню є радіусу його основи, то

3.    Якщо проекція твірної на площину основи конуса удвічі менша за твірну, то

4.    Якщо площа повної поверхні конуса дорівню є 5πr², то

Закінчення речення

А    $l = 2r$

Б    $l = корень из 2 r$

В    $l = 3r$

Г    $l = 4r$

Д    $l = r$

Решение. Площадь боковой поверхности конуса равна $Пи rl.$ Если она втрое больше площади основания, равной $Пи r в квадрате ,$ то $Пи rl=3 Пи r в квадрате ,$ откуда $l=3r.$

Высота, радиус основания и образующая образуют прямоугольный треугольник. Если $h=r,$ то

$l= корень из: начало аргумента: r в квадрате плюс h в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: r в квадрате плюс r в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 2r в квадрате конец аргумента =r корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Проекция образующей на плоскость основания равна радиусу основания. Если она вдвое меньше самой образующей, то $r= дробь: числитель: l, знаменатель: 2 конец дроби ,$ $l=2r.$

Если площадь полной поверхности конуса равна $5 Пи r в квадрате ,$ то $Пи r в квадрате$ из нее приходится на площадь основания, а $4 Пи r в квадрате$ — на боковую поверхность, откуда $4 Пи r в квадрате = Пи rl,$ $4r=l.$

Правильный ответ указан под номером 1 — В, 2 — Б, 3 — А, 4 — Г.

Ответ: В&Б&А&Г

840

В Б А Г

Источник: ЗНО 2017 року з математики — основна сесія

Методы геометрии: Теорема Пифагора

Классификатор стереометрии: 3\.16\. Конус, 4\.3\. Площадь поверхности круглых тел

4.  Тип 20 № 874 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2017 року з математики — додаткова сесія

Классификатор стереометрии: 5\.5\. Прочие построения в пространстве кроме сечений

Справедливість тверджень стереометрії. Круглі тіла

Установіть відповідність між фігурою (1−4) і тілом обертання (А−Д), утвореним унаслідок обертання цієї фігури навколо прямої, зображеної пунктиром.

Фiгура

квадрати

прямокутнi

Тiло обертания

Решение. 1. Вращением квадрата вокруг стороны получим цилиндр. Итак, 1 — А.

2. Вращением квадрата вокруг его диагонали получим два конуса, имеющих общее основание. Получаем: 2 — Г.

3. Вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны получим срезанный конус. Итак, 3 — В.

4. Вращением прямоугольной трапеции вокруг ее меньшей стороны получим цилиндр и конус с общим основанием. Таким образом, 4 — Б.

Ответ: 1 — А, 2 — Г, 3 — В, 4 — Б.

Ответ: А&Г&В&Б

874

А Г В Б

Источник: ЗНО 2017 року з математики — додаткова сесія

Классификатор стереометрии: 5\.5\. Прочие построения в пространстве кроме сечений

5.  Тип 20 № 907 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2017 року з математики — пробний тест

Методы геометрии: Теорема Пифагора

Классификатор стереометрии: 3\.15\. Цилиндр, 4\.4\. Объемы круглых тел

Справедливість тверджень стереометрії. Круглі тіла

У циліндрі з центрами основ О і O₁ проведено хорду АB в нижній основі (днв. рисунок). $\angle AOB = 90 градусов,$ $\angle OBO_1 = 60 градусов .$ Площа основи циліндра дорівнює 9π. Установіть відповідність між величиною (1−4) та її значенням (А−Д).

Величина

1.    радiус основи цилiндра

2.    довжина хорди AB

3.    висота цилiндра

4.    об'єм пiрамiди O₁AOB

Значення величини

А    $дробь: числитель: 9 корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби$

Б    3

В    $9 корень из 3$

Г    $3 корень из 2$

Д    $3 корень из 3$

Решение. 1. Площадь основания цилиндра равна $9 Пи .$ Тогда: $Пи R в квадрате =9 Пи ,$ $R в квадрате =9,$ $R=3$  — радиус основания цилиндра. Следовательно, 1 — B.

2. Градусная мера угла $\angle A O B$ равна 90°, $A O=O B=3$ как радиусы окружности, поэтому треугольник AOB — прямоугольный, а также равносторонний. Воспользуемся теоремой Пифагора: $A B в квадрате =A O в квадрате плюс O B в квадрате ,$ следовательно, $A B в квадрате =3 в квадрате плюс 3 в квадрате =18,$ откуда $A B=3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Таким образом, 2 — Г.

3. Из прямоугольного треугольника OO₁B с прямым углом $\angleO$ найдем высоту цилиндра OO₁. Так как $\angleB = 60 градусов,$ получаем:

$OO_1 = OB умножить на тангенс B = 3 умножить на тангенс 60 градусов = 3 корень из 3 .$

Получаем: 3 — Д.

4. Найдем объем пирамиды O₁AOB, воспользовавшись формулой: $V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_ AOB умножить на O O_1.$ Сперва вычислим площадь треугольника AOB:

$S_ AOB = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби A O умножить на O B= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 3 умножить на 3=4,5.$

Найдем объем пирамиды:

$V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 4,5 умножить на 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента =4,5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4,5 умножить на 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента = дробь: числитель: 9 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Итак, 4 — A.

Ответ: 1 — B, 2 — Г, 3 — Д, 4 — A.

Ответ: Б&Г&Д&А

907

Б Г Д А

Источник: ЗНО 2017 року з математики — пробний тест

Методы геометрии: Теорема Пифагора

Классификатор стереометрии: 3\.15\. Цилиндр, 4\.4\. Объемы круглых тел

6.  Тип 20 № 941 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2018 року з математики — основна сесія

Методы геометрии: Теорема Пифагора

Классификатор стереометрии: 3\.15\. Цилиндр, 3\.16\. Конус, 4\.4\. Объемы круглых тел

Справедливість тверджень стереометрії. Круглі тіла

Циліндр і конус мають рівні об’єми та рівні радіуси основ. Площа основи циліндра дорівнює $25 Пи см в квадрате ,$ а його об’єм — $100 Пи см в кубе .$ До кожного початку речення (1—4) доберіть його закінчення (А—Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1.    Висота циліндра дорівнює

2.    Висота конуса дорівнює

3.    Радіус основи циліндра дорівнює

4.    Твірна конуса дорівнює

Закінченняречення

А    4 см

Б    5 см

В    8 см

Г    12 см

Д    13 см

Решение. 1. Найдем площадь основания цилиндра: $S= Пи R в квадрате =25 Пи см в квадрате ,$ отсюда $R в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =25 равносильно R =5 см.$ Тогда $R_ ц = R_ к =5 см.$ Итак, 3 — B.

2. Так как объем цилиндра

$V_ц = Пи R в квадрате H =100 Пи см в кубе ,$

тогда $Пи умножить на 25 умножить на H =100 Пи ,$ отсюда $H =4 см.$ Высота цилиндра равна 4 см, получаем: 1 — А.

3. Так как объем конуса

$V_к = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи R в квадрате умножить на h =100 Пи см в кубе ,$

тогда $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи умножить на 25 умножить на h =100 Пи ,$ отсюда $h =12 cм,$ следовательно, 2 — Г.

4. В прямоугольном треугольнике BO₂C по теореме Пифагора:

$B C в квадрате =O_2 C в квадрате плюс O_2 B в квадрате =144 плюс 25=169 равносильно BC=13 .$

Таким образом, 4 — Д.

Ответ: 1 — А, 2 — Г, 3 — B, 4 — Д.

Ответ: АГБД

941

АГБД

Источник: ЗНО 2018 року з математики — основна сесія

Методы геометрии: Теорема Пифагора

Классификатор стереометрии: 3\.15\. Цилиндр, 3\.16\. Конус, 4\.4\. Объемы круглых тел

7.  Тип 20 № 976 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2018 року з математики — додаткова сесія

Методы геометрии: Теорема Пифагора

Классификатор стереометрии: 3\.15\. Цилиндр, 4\.3\. Площадь поверхности круглых тел

Справедливість тверджень стереометрії. Круглі тіла

У циліндр з радіусом основи 3 см і висотою 4 см вписано конус (див. рисунок). До кожного початку речення (1−4) доберіть його закінчення (А−Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початокречення

1.    Площа бічної поверхні циліндра дорівнює

2.    Площа повної поверхні циліндра дорівнює

3.    Площа основи конуса дорівнює

4.    Площа бічної поверхні конуса дорівнює

Закінчення речення

А    9π см²

Б    12π см²

В    15π см²

Г    24π см²

Д    42π см²

Решение. По теореме Пифагора найдем длину образующей конуса. Это

$l= корень из: начало аргумента: r в квадрате плюс h в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 3 в квадрате плюс 4 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 9 плюс 16 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 25 конец аргумента =5 см.$

Площадь боковой поверхности цилиндра равна $2 Пи rh=2 Пи умножить на 3 умножить на 4=24 Пи см в квадрате .$ Площадь полной поверхности цилиндра тогда равна

$2 Пи r в квадрате плюс 24 Пи =2 Пи умножить на 9 плюс 24 Пи =24 Пи плюс 18 Пи =42 Пи см в квадрате .$

Площадь основания конуса равна $Пи r в квадрате = Пи умножить на 3 в квадрате =9 Пи см в квадрате .$ Площадь боковой поверхности конуса равна $Пи rl= Пи умножить на 3 умножить на 5=15 Пи см в квадрате .$

Ответ: 1 — Г, 2 — Д, 3 — А, 4 — В.

Ответ: Г&Д&А&В

976

Г Д А В

Источник: ЗНО 2018 року з математики — додаткова сесія

Методы геометрии: Теорема Пифагора

Классификатор стереометрии: 3\.15\. Цилиндр, 4\.3\. Площадь поверхности круглых тел

8.  Тип 20 № 1010 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2018 року з математики — пробний тест

Классификатор стереометрии: 4\.4\. Объемы круглых тел

Справедливість тверджень стереометрії. Круглі тіла

Установіть відповідність між геометричним тілом (1—4) і його об’ємом (А—Д).

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Геометричне тйо

1.    циліндр, діаметр основи та висота якого дорівнюють a (рис. 1)

2.    конус, діаметр основи та висота якого дорівнюють a (рис. 2)

3.    куля, діаметр якої дорівнює a (рис. 3)

4.    правильна трикутна призма, сторона основи та

бічне ребро якої дорівнюють відповідно a i $дробь: числитель: Пи a, знаменатель: 2 конец дроби$ (рис. 4)

Закінчення речення

А    $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби Пи a в кубе$

Б    $дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби Пи a в кубе$

В    $дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби Пи a в кубе$

Г    $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби Пи a в кубе$

Д    $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи a в кубе$

Решение. 1. Для нахождения объема цилиндра воспользуемся формулой $V_ц= Пи R в квадрате H,$ где $R = дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби$  — радиус основания, $H = a.$ Получаем:

$V_ц = Пи левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате умножить на a= дробь: числитель: Пи a в квадрате умножить на a, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: Пи a в кубе , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби Пи a в кубе .$

Следовательно, 1 — B.

2. Для нахождения объема конуса воспользуемся формулой $V_к= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи R в квадрате H,$ где $R= дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби$  — радиус основания, $H=a.$ Получаем:

$V_к= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате умножить на a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби Пи a в кубе .$

Таким образом, 2 — Б.

3. Для нахождения объема шара воспользуемся формулой $V_шара= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби Пи R в кубе ,$ где $R = дробь: числитель: a , знаменатель: 2 конец дроби .$ Получаем:

$V_шара= дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби умножить на Пи умножить на дробь: числитель: a в кубе , знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: Пи a в кубе , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби Пи a в кубе .$

Итак, 3 — A.

4. Для нахождения объема призмы воспользуемся формулой $V_пр= S_осн умножить на H ,$ где $S_ocн= дробь: числитель: a в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби$ (основа — правильный треугольник со стороной a), $H = дробь: числитель: Пи a , знаменатель: 2 конец дроби .$ Получаем:

$V_пр= дробь: числитель: a в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: Пи a, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: Пи корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента a в кубе , знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 8 конец дроби Пи a в кубе .$

Следовательно, 4 — Г.

Ответ: 1 — B, 2 — Б, 3 — A, 4 — Г.

Ответ: В&Б&А&Г

1010

В Б А Г

Источник: ЗНО 2018 року з математики — пробний тест

Классификатор стереометрии: 4\.4\. Объемы круглых тел

9.  Тип 20 № 1146 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2020 року з математики — основна сесія

Классификатор стереометрии: 3\.15\. Цилиндр, 4\.3\. Площадь поверхности круглых тел, 4\.4\. Объемы круглых тел

Справедливість тверджень стереометрії. Круглі тіла

Установіть відповідність між вимірами циліндра (1−3) та правильним щодо нього твердженням (А−Д).

Виміри циліндра

1.     радіус основи дорівнює 6, висота — 4

2.    радіус основи дорівнює 2, висота — 6

3.    радіус основи дорівнює 4, висота — 6

Твердження щодо циліндра

А    циліндр утворено обертанням прямокутника зі сторонами 4 та 6 навколо більшої сторони

Б    площа основи циліндра дорівнює 12π

В    твірна циліндра дорівнює 4

Г    площа бічної поверхні циліндра дорівнює 24π

Д    об'єм цилiндра дорівнює 48π

Решение. 1. Длина образующей равна 4. Итак, 1 — B.

2. Найдем площадь боковой поверхности: $S_бок.=2 Пи R H=2 Пи умножить на 2 умножить на 6=24 Пи .$ Итак, 2 — Г.

3. Прямоугольник ABCD вращается вокруг стороны, длина которой равна 6. Таким образом, 1 — А.

Ответ: 1 — B, 2 — Г, 1 — А.

Ответ: В&Г&

1146

В Г

Источник: ЗНО 2020 року з математики — основна сесія

Классификатор стереометрии: 3\.15\. Цилиндр, 4\.3\. Площадь поверхности круглых тел, 4\.4\. Объемы круглых тел

10.  Тип 20 № 1180 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2020 року з математики — додаткова сесія

Методы геометрии: Теорема Пифагора

Классификатор стереометрии: 3\.16\. Конус, 4\.3\. Площадь поверхности круглых тел, 4\.4\. Объемы круглых тел

Справедливість тверджень стереометрії. Круглі тіла

Установіть відповідність між вимірами конуса (1−3) та правильним щодо нього твердженням (А−Д).

Виміри конуса

1.    радіус основи дорівнює 6, висота — $3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$

2.    радіус основи дорівнює 3, висота — $3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$

3.    радіус основи дорівнює 4, висота — 3

Твердження щодо конуса

А    конус утворено обертанням рівностороннього трикутника зі стороною 6 навколо його висоти

Б    діаметр основи конуса дорівнює 12

В    твірна конуса дорівнює 12

Г    площа бічної поверхні конуса дорівнює 20π

Д    Об'єм конуса дорiнює $108 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента Пи$

Решение. 1. Если радиус основания конуса равен 6, то диаметр основания конуса равен 12. Таким образом, 1 — Б.

2. Если радиус равен 3, найдем длину AO: $AO=H=3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ В прямоугольном треугольнике AOB по теореме Пифагора:

$A B в квадрате =BO в квадрате плюс AO в квадрате =9 плюс 27=36,$

отсюда $AB=AC=BC=6.$ Значит, 2 — А.

3. Радиус основания конуса равен 4, высота конуса равна 3. Для нахождения площади боковой поверхности используем формулу $S_бок.= Пи R l,$ где $l=A B= корень из: начало аргумента: 3 в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента плюс 4 в квадрате правая круглая скобка =5.$ Имеем: $S_бок.= Пи умножить на 4 умножить на 5=20 Пи .$ Итак, 3 — Г.

Ответ: 1 — Б, 2 — А, 3 — Г.

Ответ: Б&А&Г

1180

Б А Г

Источник: ЗНО 2020 року з математики — додаткова сесія

Методы геометрии: Теорема Пифагора

Классификатор стереометрии: 3\.16\. Конус, 4\.3\. Площадь поверхности круглых тел, 4\.4\. Объемы круглых тел

11.  Тип 20 № 1312 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2021 року з математики — пробний тест

Классификатор стереометрии: 3\.16\. Конус

Справедливість тверджень стереометрії. Круглі тіла

Довжина кола основи конуса дорівнює 36π, твірна нахилена до площини основи під кутом 30°. Установіть відповідність між відрізком (1–3) і його довжиною (А–Д).

Відрізок

1.    радіус основи конуса

2.    висота конуса

3.    радіус сектора, що є розгорткою бічної поверхні конуса

Довжина відрізка

А    $6 корень из 3$

Б    18

В    $12 корень из 3$

Г    $6$

Д    36

Решение. 1. Найдем длину окружности $C=2 Пи R=36 Пи ,$ отсюда $R = 18.$ Следовательно, 1 — Б.

2. Градусная мера угла $\angleABO$ равна 30°, AB — образующая конуса. Треугольник $\triangleAOB$  — прямоугольный. Найдем AO: $AO=BO умножить на тангенс 30 градусов=18 умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби =6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$ следовательно, 2 — А.

3. Образующая AB — радиус сектора, являющегося разверткой боковой поверхности конуса. Найдем длину AB:

$AB= дробь: числитель: OB, знаменатель: косинус 30 градусов конец дроби = дробь: числитель: 18, знаменатель: дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 18 умножить на 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 18 умножить на 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби =12 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ,$

следовательно, 3 — В.

Ответ: 1 — Б, 2 — А, 3 — В.

Ответ: Б&А&В

1312

Б А В

Источник: ЗНО 2021 року з математики — пробний тест

Классификатор стереометрии: 3\.16\. Конус

12.  Тип 20 № 3266 Добавить в вариант

Методы геометрии: Теорема Пифагора

Классификатор стереометрии: 3\.16\. Конус, 4\.4\. Объемы круглых тел

Справедливість тверджень стереометрії. Круглі тіла

Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. З єднайте початок речення (1–3) та його закінчення (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення

1 Радиус основания конуса

2 Объем конуса

3 Длина ребра SA

Закінчення речення

А 24π

Б 16π

В  $2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента$

Г  $2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента$

Д  $2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента$

Решение. 1. Квадрат, лежащий в основании пирамиды, вписан в окружность, являющуюся основанием конуса. Поэтому радиус основания конуса r равен половине диагонали квадрата ABCD:

$r= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби AB=2 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

2. Найдем объем конуса:

$дробь: числитель: V, знаменатель: Пи конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Sh= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи r в квадрате h = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби Пи умножить на 8 умножить на 6=16 Пи .$

3. Найдем SA по теореме Пифагора:

$SA= корень из: начало аргумента: r в квадрате плюс h в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 8 плюс 36 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 44 конец аргумента =2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента .$

Ответ: 1 — В, 2 — Б, 3 — Д.

Ответ: ВБД

3266

ВБД

Методы геометрии: Теорема Пифагора

Классификатор стереометрии: 3\.16\. Конус, 4\.4\. Объемы круглых тел

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	738	Б Г Д А
2	772	Д Б А В
3	840	В Б А Г
4	874	А Г В Б
5	907	Б Г Д А
6	941	АГБД
7	976	Г Д А В
8	1010	В Б А Г
9	1146	В Г
10	1180	Б А Г
11	1312	Б А В
12	3266	ВБД