Висота трикутної піраміди SABC дорівнює 40, а висота кожної бічної грані, проведена з вершини піраміди, дорівнює 41.
1. Зобразіть цю піраміду і доведіть, що висота піраміди проходить через центр кола, вписаного в його основу.
2. Знайдіть площу основи піраміди, якщо її периметр дорівнює 42.
3. Знайдіть об'єм піраміди.
Пусть отрезок SO — высота треугольной пирамиды SABC, а отрезки SK, SL и SM — высоты боковых граней (см. рис.). Прямоугольные треугольники SOK, SOL и SOM равны по гипотенузе и катету: сторона SO общая, стороны SK, SL и SM равны по условию. Соответственные элементы равных треугольников равны, поэтому отрезки OK, OL и OM равны.
Прямая OK является проекцией наклонной SK на плоскость основания. Следовательно, по теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах, отрезок OK перпендикулярен прямой AB. Аналогично отрезки OL и OM перпендикулярны прямым BC и AC соответственно. Таким образом, точка O равноудалена от сторон основания, а потому является центром вписанной окружности.
Отрезок OК является радиусом вписанной окружности. Из прямоугольного треугольника SOK по теореме Пифагора найдем:
Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности, откуда находим:
Объем пирамиды равен
Ответ: 2) 189; 3) 2520.
Відповідно до умови завдання 31 (№ 3441) висота трикутної піраміди дорівнює 40 см, а висота кожної бічної грані, проведена з вершини піраміди, дорівнює 41 см.
а) Зобразіть цю піраміду та побудуйте лінійний кут двогранного кута між її суміжними бічними гранями.
б) Знайдіть цей кут.