СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Висота трикутної піраміди SABC дорівнює 40, а висота кожної бічної грані, проведена з вершини піраміди, дорівнює 41.

1.  Зобразіть цю піраміду і доведіть, що висота піраміди проходить через центр кола, вписаного в його основу.

2.  Знайдіть площу основи піраміди, якщо її периметр дорівнює 42.

3.  Знайдіть об'єм піраміди.

Решение. Пусть отрезок SO  — высота треугольной пирамиды SABC, а отрезки SK, SL и SM  — высоты боковых граней (см. рис.). Прямоугольные треугольники SOK, SOL и SOM равны по гипотенузе и катету: сторона SO общая, стороны SK, SL и SM равны по условию. Соответственные элементы равных треугольников равны, поэтому отрезки OK, OL и OM равны.

Прямая OK является проекцией наклонной SK на плоскость основания. Следовательно, по теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах, отрезок OK перпендикулярен прямой AB. Аналогично отрезки OL и OM перпендикулярны прямым BC и AC соответственно. Таким образом, точка O равноудалена от сторон основания, а потому является центром вписанной окружности.

Отрезок OК является радиусом вписанной окружности. Из прямоугольного треугольника SOK по теореме Пифагора найдем:

$OK= корень из: начало аргумента: SK в квадрате минус OK в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 1681 минус 1600 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 81 конец аргумента =9.$

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности, откуда находим:

$S_ABC=pr=21 умножить на 9=189.$

Объем пирамиды равен

$V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на S_ABC умножить на SO= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 189 умножить на 40=2520.$

Ответ: 2) 189; 3) 2520.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3441	2) 189; 3) 2520.

Ключ