Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д13 B3 № 1084
i

Центр кола, за­да­но­го рівнян­ням x в квад­ра­те минус 8x плюс y в квад­ра­те плюс 7=0, збігається з точ­кою пе­ре­ти­ну діаго­на­лей AC i BD па­ра­ле­ло­гра­ма ABCD. Об­числіть площу цього па­ра­ле­ло­гра­ма, якщо A(−4; −3) i B(0; 3).

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­пи­шем урав­не­ние окруж­но­сти в стан­дарт­ном виде:

x в квад­ра­те минус 8x плюс 16 плюс y в квад­ра­те минус 9=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те =9.

Зна­чит это окруж­ность с цен­тром в левая круг­лая скоб­ка 4; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка и ра­ди­у­сом 3. На­зо­вем эту точку O.

Най­дем урав­не­ние пря­мой AB. Пусть это y=kx плюс b, тогда 3=0k плюс b и минус 3= минус 4k плюс b, от­ку­да b=3 и

минус 3= минус 4k плюс 3 рав­но­силь­но 4k=6 рав­но­силь­но k= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Зна­чит, урав­не­ние AB это y= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x плюс 3 или 3x минус 2y плюс 6=0.

Далее,

AB= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка минус 4 минус 0 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка минус 3 минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 16 плюс 36 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 52 конец ар­гу­мен­та

и рас­сто­я­ние от O до этой пря­мой со­став­ля­ет

дробь: чис­ли­тель: \abs3 умно­жить на 4 минус 2 умно­жить на 0 плюс 6, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 18, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

по­это­му пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABO со­став­ля­ет

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 52 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 18, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 18, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та конец дроби =18.

Как из­вест­но, пло­ща­ди всех че­ты­рех тре­уголь­ни­ков, на ко­то­рые па­рал­ле­ло­грамм раз­би­ва­ет­ся диа­го­на­ля­ми, оди­на­ко­вы, по­это­му пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма со­став­ля­ет 4 умно­жить на 18=72.

 

Ответ: 72.

Источник: ЗНО 2019 року з ма­те­ма­ти­ки — до­дат­ко­ва сесія
Методы геометрии: Метод ко­ор­ди­нат
Классификатор планиметрии: За­да­чи, где в усло­вии век­то­ры или ко­ор­ди­на­ты, 2\.4\. Про­чие па­рал­ле­ло­грам­мы
Спрятать решение


О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе
© Гущин Д. Д., 2011—2024