СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип Д13 B3 № 1084 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2019 року з математики — додаткова сесія

Классификатор планиметрии: Задачи, где в условии векторы или координаты, 2\.4\. Прочие параллелограммы

Вектори та координати. Різні завдання з векторами та координатами

Центр кола, заданого рівнянням $x в квадрате минус 8x плюс y в квадрате плюс 7=0,$ збігається з точкою перетину діагоналей AC i BD паралелограма ABCD. Обчисліть площу цього паралелограма, якщо A(−4; −3) i B(0; 3).

Решение. Запишем уравнение окружности в стандартном виде:

$x в квадрате минус 8x плюс 16 плюс y в квадрате минус 9=0 равносильно левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в квадрате плюс y в квадрате =9.$

Значит это окружность с центром в $левая круглая скобка 4; 0 правая круглая скобка$ и радиусом 3. Назовем эту точку O.

Найдем уравнение прямой AB. Пусть это $y=kx плюс b,$ тогда $3=0k плюс b$ и $минус 3= минус 4k плюс b,$ откуда $b=3$ и

$минус 3= минус 4k плюс 3 равносильно 4k=6 равносильно k= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$

Значит, уравнение AB это $y= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби x плюс 3$ или $3x минус 2y плюс 6=0.$

Далее,

$AB= корень из: начало аргумента: левая круглая скобка минус 4 минус 0 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка минус 3 минус 3 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 16 плюс 36 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 52 конец аргумента$

и расстояние от O до этой прямой составляет

$дробь: числитель: \abs3 умножить на 4 минус 2 умножить на 0 плюс 6, знаменатель: корень из: начало аргумента: 3 в квадрате плюс левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 18, знаменатель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента конец дроби ,$

поэтому площадь треугольника ABO составляет

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 52 конец аргумента умножить на дробь: числитель: 18, знаменатель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента умножить на дробь: числитель: 18, знаменатель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента конец дроби =18.$

Как известно, площади всех четырех треугольников, на которые параллелограмм разбивается диагоналями, одинаковы, поэтому площадь параллелограмма составляет $4 умножить на 18=72.$

Ответ: 72.

Ответ: 72

1084

Источник: ЗНО 2019 року з математики — додаткова сесія

Методы геометрии: Метод координат

Классификатор планиметрии: Задачи, где в условии векторы или координаты, 2\.4\. Прочие параллелограммы

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1084	72