Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює 4. Бічні ребра нахилені до основи під кутом α.
а) Зобразіть на малюнку цю піраміду та кут α.
б) Знайдіть площу повної поверхні піраміди.
в) Знайдіть об'єм піраміди.
Решение. 
Пусть SABC — правильная треугольная пирамида с вершиной S и основанием АВС, точка О — центр основания. Проведём высоту пирамиды SO и радиус описанной вокруг основания окружности OB. Прямая ОВ является проекцией наклонной SB на плоскость основания, поэтому угол SBC это угол наклона бокового ребра к плоскости основания, то есть угол α. Далее, проведём апофему SL боковой грани SBC и радиус вписанной в основание окружности OL. Прямая ОL является проекцией наклонной SL на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах из взаимной перпендикулярности прямых OL и BC следует взаимная перпендикулярность прямых SL и BC. Следовательно, прямые SL и OL суть перпендикуляры к ребру двугранного угла между плоскостями SBC и ABC, а потому угол SLO — линейный угол двугранного угла при основании. Обозначим его β.
Найдем угол β через угол α. Выразим высоту SO пирамиды из прямоугольных треугольников SOB и SOL, получим:
Приравнивая полученные выражения, находим, что:
откуда
В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности вдвое больше радиуса вписанной окружности. Поэтому для треугольной пирамиды
Выразим OL и SO:
Отметим, что в равностороннем треугольнике
откуда
Площадь полной поверхности пирамиды равна
Найдем объем пирамиды:
Ответ: 1) см. рис.; 2) 
3) 
Ответ: 1) см. рис.; 2)
3)
откуда:
