СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип Д17 C3 № 984 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2018 року з математики — додаткова сесія

Классификатор стереометрии: 3\.3\. Правильная четырёхугольная пирамида, 5\.3\. Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой, 5\.9\. Периметр, площадь сечения

Складна стереометрія. Багатогранники

У правильній чотирикутній піраміді SABCD через діагональ BD основи перпендикулярно до бічного ребра SC проведено площину y. Ця площина утворює з площиною основи піраміди кут α. Висота піраміди дорівнює H.

1. Побудуйте переріз піраміди SABC площиною y.

2. Обґрунтуйте вид перерізу.

3. Визначте площу перерізу.

Решение. Опустим из B и D перпендикуляры на SC. Они упадут в одну точку, поскольку треугольники SCD и SBC равны. Обозначим эту точку H. Тогда BHD — искомое сечение, оно содержит точки B и D, а также содержит две прямые BH и DH, перпендикулярных ребру CS, поэтому и вся плоскость перпендикулярна CS. Значит сечение — равнобедренный треугольник.

Пусть O — центр основания. Тогда в прямоугольном треугольнике SOC отрезок OH — высота, проведенная к гипотенузе. Отрезки OH и BD перпендикулярны, поскольку OH — медиана равнобедренного треугольника BHD. Кроме того, $SO\perp BD,$ поскольку диагонали квадрата перпендикулярны. Следовательно

$альфа =\angle левая круглая скобка BHD, ABCD правая круглая скобка =\angle левая круглая скобка HO, CO правая круглая скобка =\angle HOC.$ $альфа =\angle левая круглая скобка BHD, ABCD правая круглая скобка =$
$=\angle левая круглая скобка HO, CO правая круглая скобка =\angle HOC.$

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник SOC. В нем OH — высота, проведенная к гипотенузе, $\angle HOC= альфа .$ Тогда $\angle SOH=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа ,$ получаем:

$OH=SO косинус \angle SOH=SO косинус левая круглая скобка 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка =h синус альфа ,$ $OH=SO косинус \angle SOH=$
$=SO косинус левая круглая скобка 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка =h синус альфа ,$

также

$OC= дробь: числитель: OH, знаменатель: косинус альфа конец дроби = дробь: числитель: h синус альфа , знаменатель: косинус альфа конец дроби .$

Наконец,

$S_BHD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BD умножить на OH=OD умножить на OH=$
$=OC умножить на OH= дробь: числитель: h синус альфа , знаменатель: косинус альфа конец дроби умножить на h синус альфа = дробь: числитель: h в квадрате синус в квадрате альфа , знаменатель: косинус альфа конец дроби .$ $S_BHD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BD умножить на OH=$
$=OD умножить на OH=OC умножить на OH=$
$= дробь: числитель: h синус альфа , знаменатель: косинус альфа конец дроби умножить на h синус альфа = дробь: числитель: h в квадрате синус в квадрате альфа , знаменатель: косинус альфа конец дроби .$

Ответ: $S= дробь: числитель: h в квадрате синус в квадрате альфа , знаменатель: косинус альфа конец дроби .$

984

$S= дробь: числитель: h в квадрате синус в квадрате альфа , знаменатель: косинус альфа конец дроби .$

Источник: ЗНО 2018 року з математики — додаткова сесія

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	984	$S= дробь: числитель: h в квадрате синус в квадрате альфа , знаменатель: косинус альфа конец дроби .$