СКЛАДУ ЗНО: завдання, відповіді, рішення

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д13 B3 № 743 Добавить в вариант

У прямокутній системі координат на площині задано паралелограм АВСD, $косинус A=0,4.$ Визначте довжину діагоналі BD паралелограма, якщо скалярний добуток векторів $\overrightarrowAB$ (6; −8) і $\overrightarrowAD$ дорівнює 96.

Спрятать решение

Решение.

По условию

$96=\overlineAB умножить на \overlineAD=\abs\overlineAB умножить на \abs\overlineAD умножить на косинус \angle A= корень из: начало аргумента: 6 в квадрате плюс левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента умножить на \abs\overlineAD умножить на 0,4=$
$= корень из: начало аргумента: 36 плюс 64 конец аргумента умножить на 0,4 умножить на \abs\overlineAD=10 умножить на 0,4 умножить на \abs\overlineAD=4\abs\overlineAD,$ $96=\overlineAB умножить на \overlineAD=\abs\overlineAB умножить на \abs\overlineAD умножить на косинус \angle A=$
$= корень из: начало аргумента: 6 в квадрате плюс левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента умножить на \abs\overlineAD умножить на 0,4=$
$= корень из: начало аргумента: 36 плюс 64 конец аргумента умножить на 0,4 умножить на \abs\overlineAD=10 умножить на 0,4 умножить на \abs\overlineAD=4\abs\overlineAD,$

откуда $\abs\overlineAD=24.$ По теореме косинусов для треугольника ABD получаем

$BD= корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс AD в квадрате минус 2AB умножить на AD косинус \angle A конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 24 в квадрате плюс 10 в квадрате минус 2 умножить на 24 умножить на 10 умножить на 0,4 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 576 плюс 100 минус 192 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 484 конец аргумента =22.$ $BD= корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс AD в квадрате минус 2AB умножить на AD косинус \angle A конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 24 в квадрате плюс 10 в квадрате минус 2 умножить на 24 умножить на 10 умножить на 0,4 конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 576 плюс 100 минус 192 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 484 конец аргумента =22.$

Ответ: 22.

Источник: ЗНО 2016 року з математики — основна сесія

Методы геометрии: Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: Задачи, где в условии векторы или координаты

Спрятать решение