Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 19 № 737
i

На ри­сун­ку зоб­ра­же­но коло з цен­тром у точці О, радіус якого дорівнює 6. Хорду ВС видно з цен­тра кола під кутом 60°, ВК — діаметр. Через точку А до кола про­ве­де­но до­тич­ну АВ, при­чо­му АО=2АВ. Уста­новіть відповідність між відрізком (1−4) та його до­в­жи­ною (А−Д).

Вираз

1.    BK

2.    AB

3.    BC

4.    CK

До­в­жи­на відрізка

А    2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та

Б    6

В    6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та

Г    3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та

Д    12

А
Б
В
Г
Д

1

2

3

4
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Вы­чис­лим длины от­рез­ков (1−4).

1. Так как диа­метр окруж­но­сти в два раза боль­ше ра­ди­у­са окруж­но­сти, то со­глас­но усло­вию, по­лу­ча­ем: BK=2 умно­жить на 6=12. Таким об­ра­зом, 1 — Д.

2. Рас­смот­рим тре­уголь­ник ABO. Так как пря­мая AB при­част­на к окруж­но­сти, то \angle ABO — пря­мой. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABO длина ка­те­та BO равна 6, а ги­по­те­ну­за AO=2 AB. При­ме­нив тео­ре­му Пи­фа­го­ра, по­лу­чим:

6 в квад­ра­те плюс A B в квад­ра­те = левая круг­лая скоб­ка 2 A B пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но 36 плюс AB в квад­ра­те =4 AB в квад­ра­те рав­но­силь­но 36=3 AB в квад­ра­те рав­но­силь­но
рав­но­силь­но AB в квад­ра­те =12 рав­но­силь­но AB= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 12 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 умно­жить на 3 конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Вос­поль­зо­вав­шись тем, что в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABO угол \angleAOB = 30 гра­ду­сов, по­лу­чим такой же ре­зуль­тат, так как из­вест­но, что ги­по­те­ну­за вдвое боль­ше ка­те­та, про­ти­во­ле­жа­ще­го углу, гра­дус­ная мера ко­то­ро­го равна 30°. Най­дем AB:

AB=BO тан­генс 30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =6 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Сле­до­ва­тель­но, 2 — А.

3. От­рез­ки BO и OC равны как ра­ди­у­сы одной окруж­но­сти, \angleBOC = 60 гра­ду­сов, \angleBCO = 60 гра­ду­сов, по­это­му тре­уголь­ник BOC — рав­но­сто­рон­ний. От­сю­да BC = 6, таким об­ра­зом, 3 — Б.

4. Тре­уголь­ник BCK впи­сан в окруж­ность. Впи­сан­ный угол \angleBCK опи­ра­ет­ся на ди­метр окруж­но­сти, по­это­му \angleBCK = 90 гра­ду­сов, от­сю­да BCK — пря­мо­уголь­ный. Так как BK = 12, \angle CBK=60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , най­дем CK:

CK=BK умно­жить на синус 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =12 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Также можем вос­поль­зо­вать­ся тео­ре­мой Пи­фа­го­ра:

CK= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: BK в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус BC в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 12 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус 6 в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 108 конец ар­гу­мен­та =6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Таким об­ра­зом, 4 — В.

 

Ответ: 1 — Д, 2 — А, 3 — Б, 4 — В.

Источник: ЗНО 2016 року з ма­те­ма­ти­ки — ос­нов­на сесія
Методы геометрии: Свой­ства углов окруж­но­сти, Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор планиметрии: 3\.2\. Окруж­ность и свя­зан­ные с ней от­рез­ки
Спрятать решение


О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе
© Гущин Д. Д., 2011—2024