Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
У ромб ABCD вписано коло 3 центром у точці O, яке дотикається сторін AB і AD у точках K і M відповідно (див. рисунок). Периметр ромба дорівнюе 48 см,
1. Довжину відрізка OB (у см).
2. Довжину відрізка KM (у см).
Решение. 
см. Ясно, что точка M делит сторону AD в том же отношении, что и точка K — сторону AB, поэтому треугольники AMK и ABD подобны с коэффициентом
Сторона ромба равна 
см. Кроме того, треугольник ABD — равнобедренный с углом 60°, значит он равносторонний. Тогда 
см,
см.
Рассмотрим треугольник AOB. Он прямоугольный, поскольку диагонали ромба перпендикулярны, 
поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, это высота данного треугольника. Вычислим ее через площадь:
см.
см. Ясно, что точка M делит сторону AD в том же отношении, что и точка K — сторону AB, поэтому треугольники AMK и ABD подобны с коэффициентом 
Поэтому
Ответ: 6; 9.
Методы геометрии: Использование подобия, Теорема Пифагора
Классификатор планиметрии: 2\.3\. Прямоугольник, ромб, квадрат, 3\.3\. Вписанная окружность