СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 30 № 3408 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 13\.2\. Чётность, нечётность, ограниченность, периодичность функции, 13\.3\. Монотонность и экстремумы функции , 13\.4\. Наибольшее и наименьшее значение функции, 14\.4\. Построение графика функции при помощи производной

Аналіз функції. Повне дослідження функції та побудова графіка

x	y
−3
0
3

Задано функцію $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x минус дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби .$

1. Для наведених у таблиці значень аргументів х визначте відповідні їм значення у (див. таблицю).

2. Знайдіть координати точок перетину графіка функції $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ з осями координат.

3. Знайдіть похідну f' функції $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x минус дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби .$

4. Визначте нулі функції f' .

5. Визначте проміжки зростання та спадання, точки екстремуму функції f .

6. Побудуйте ескіз графіка функції f .

Решение. Найдем значения функции в указанных точках. Имеем:

$y левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка = минус 3 минус дробь: числитель: левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка в кубе , знаменатель: 3 конец дроби = минус 3 плюс 9=6;$

$y левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0 минус дробь: числитель: 0, знаменатель: 3 конец дроби =0;$

$y левая круглая скобка 3 правая круглая скобка =3 минус дробь: числитель: 3 в кубе , знаменатель: 3 конец дроби =3 минус 9= минус 6.$

Нужно решить уравнение $x минус дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби =0,$ откуда

$3x минус x в кубе =0 равносильно x левая круглая скобка 3 минус x в квадрате правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений x=0,x=\pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента . конец совокупности .$

Значит, точки пересечения с осью абсцисc это $левая круглая скобка 0;0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ;0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента ;0 правая круглая скобка .$ Первая заодно будет точкой пересечения с осью ординат.

Возьмем производную функции

$f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус дробь: числитель: x в кубе , знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка '=1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 3x в квадрате =1 минус x в квадрате = левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка ,$

что положительно при $x принадлежит левая круглая скобка минус 1;1 правая круглая скобка$ и отрицательно при $x меньше 1$ или $x больше 1.$

Значит $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ убывает при $x меньше меньше или равно минус 1,$ возрастает при $x принадлежит левая квадратная скобка минус 1;1 правая квадратная скобка$ и убывает при $x больше или равно 1.$

Добавим еще несколько пунктов в исследование. Из предыдущего видно, что $x= минус 1$   — точка минимума, а точка $x=1$   — точка максимума функции,

$f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = минус 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =1 минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .$

Возьмем вторую производную, получим $f'' левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка '= минус 2x,$ что отрицательно при $x больше 0$ и положительно при $x меньше 0.$ Значит, функция выпукла вверх при $x больше 0$ и выпукла вниз при $x меньше 0.$ Точка $x=0$ будет точкой перегиба, $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0.$ Функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — кубический многочлен. Она определена везде и принимает все значения. Она нечетная. У нее нет асимптот. Осталось построить график.

Ключ