Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 34 № 3346
i

За­да­но си­сте­му рівнянь

си­сте­ма вы­ра­же­ний 4 в сте­пе­ни x минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =a плюс 3, ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно a плюс 4, конец си­сте­мы .

де x – змінна, a – па­ра­метр.

1. Розв'яжіть рівнян­ня 4 в сте­пе­ни x минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =3.

2. Визна­чте всі зна­чен­ня па­ра­мет­ра, а при кож­но­му з яких си­сте­ма має рівно два рішення.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим урав­не­ние:

4 в сте­пе­ни x минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =3 рав­но­силь­но 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 умно­жить на 2 в сте­пе­ни x минус 3=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2 в сте­пе­ни x = минус 1,2 в сте­пе­ни x =3 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но x= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3.

Для того, чтобы дан­ная си­сте­ма имела ровно два ре­ше­ния, урав­не­ние 4 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =a плюс 3 (*) долж­но иметь корни, ровно два из ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют не­ра­вен­ству \log _2 левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно a плюс 4.

По­ло­жим 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =t боль­ше 0, a плюс 4=b. Тогда урав­не­ние (*) при­ни­ма­ет вид левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =b. Это урав­не­ние имеет два раз­лич­ных по­ло­жи­тель­ных корня t=1\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та при 0 мень­ше b мень­ше 1. Таким об­ра­зом, 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =1\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та , от­ку­да x=\log _2 левая круг­лая скоб­ка 1\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка . Так как 0 мень­ше 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та мень­ше 1, а 1 мень­ше 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та мень­ше 2, то \log _2 левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, а 0 мень­ше \log _2 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: b конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 1.

Не­ра­вен­ство \log _2 левая круг­лая скоб­ка 3 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно b при 0 мень­ше b мень­ше 1 вы­пол­не­но для всех x мень­ше 1, по­сколь­ку левая часть не­ра­вен­ства боль­ше 1, а пра­вая мень­ше 1. Таким об­ра­зом, си­сте­ма имеет ровно два ре­ше­ния при 0 мень­ше b мень­ше 1, от­ку­да минус 4 мень­ше a мень­ше минус 3.

 

Ответ:

1) левая фи­гур­ная скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 3 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

2) минус 4 мень­ше a мень­ше минус 3.

Классификатор алгебры: 8\.11\. Про­чие за­да­чи с па­ра­мет­ром
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Спрятать решение


О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе
© Гущин Д. Д., 2011—2024