СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 34 № 3340 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 8\.11\. Прочие задачи с параметром

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Задачі з параметром. Нерівності з параметром

Задано нерівність $2 плюс корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс ax конец аргумента больше x,$ де x – змінна, a – параметр.

1. Розв'яжіть нерівність $2 плюс корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 2x конец аргумента больше x.$

2. Знайдіть усі значення параметра a , при кожному з яких безліч розв'язків нерівності містить відрізок [4; 7].

Решение. Сначала преобразуем уравнение $2 плюс корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 2x конец аргумента больше x.$ Приведем его к виду $корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 2x конец аргумента больше x минус 2.$ При $x минус 2 меньше 0$ , левая часть всегда неотрицательна, а правая часть всегда отрицательна, следовательно утверждение верно для любого значения x. Для $x минус 2 больше или равно 0,$ имеем:

$корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 2x конец аргумента больше x минус 2 равносильно система выражений x минус 2 больше или равно 0 ,x в квадрате плюс 2x больше x в квадрате минус 4x плюс 4 конец системы . равносильно система выражений x больше или равно 2,6x больше 4 конец системы . равносильно система выражений x больше или равно 2,x больше дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , конец системы . равносильно x больше или равно 2.$ $корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс 2x конец аргумента больше x минус 2 равносильно система выражений x минус 2 больше или равно 0 ,x в квадрате плюс 2x больше x в квадрате минус 4x плюс 4 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x больше или равно 2,6x больше 4 конец системы . равносильно система выражений x больше или равно 2,x больше дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , конец системы . равносильно x больше или равно 2.$

Так как корень существует на интервалах $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка ,$ окончательным множеством решений данного неравенства является $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Преобразуем неравенство:

$2 плюс корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс ax конец аргумента больше x равносильно корень из: начало аргумента: x в квадрате плюс ax конец аргумента больше x минус 2\underset4 меньше или равно x\leqslant7\mathop равносильно x в квадрате плюс ax больше x в квадрате минус 4x плюс 4 равносильно$

$равносильно ax больше минус 4x плюс 4 \underset4 меньше или равно x\leqslant7\mathop равносильно a больше минус 4 плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: x конец дроби$

На отрезке $левая квадратная скобка 4; 7 правая квадратная скобка$ функция $a левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 4 плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: x конец дроби$ убывает. Значит, чтобы отрезок $левая квадратная скобка 4; 7 правая квадратная скобка$ являлся решением неравенства $a больше минус 4 плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: x конец дроби$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство $a больше a левая круглая скобка 4 правая круглая скобка = минус 4 плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: 4 конец дроби = минус 3.$

Ответ:

1) $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка ;$

2) $левая круглая скобка минус 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ:

2) $левая круглая скобка минус 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

3340

2) $левая круглая скобка минус 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: 8\.11\. Прочие задачи с параметром

Методы алгебры: Введение замены, Метод интервалов

Ключ

№ п/п

№ задания

Ответ

3340

2) $левая круглая скобка минус 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .$