СКЛАДУ ЗНО: завдання, відповіді, рішення

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д13 B3 № 1055 Добавить в вариант

У прямокутній системі координат на площині xy задано прямокутний трикутник ACB $левая круглая скобка \angle C= 90 градусов правая круглая скобка .$ Коло з центром у точці A, задане рівнянням $левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс y в квадрате минус 4y = 21,$ проходить через вершину C. Сторона AC паралельна осі y, довжина сторони BC втричі більша за довжину сторони AC. Визначте координати вершини B (x_в; y_в), якщо вона лежить у першій координатній чверті. У відповідь запишіть суму x_в + y_в.

Спрятать решение

Решение.

Запишем уравнение окружности в стандартном виде:

$левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс y в квадрате минус 4y плюс 4=25 равносильно левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка в квадрате =5 в квадрате .$

Значит, центр этой окружности $A левая круглая скобка минус 3; 2 правая круглая скобка ,$ а радиус ее 5. Поскольку прямая AC горизонтальна, координаты точки C отличаются от координат точки A только абсциссой, причем на радиус окружности. Значит, либо $C левая круглая скобка 2; 2 правая круглая скобка ,$ либо $C левая круглая скобка минус 8; 2 правая круглая скобка .$ Далее, угол C прямой, поэтому BC — вертикальный отрезок длиной $3 умножить на AC=3 умножить на 5=15,$ значит координаты точки B отличаются от координат точки C только ординатой, на 15 в какую-то сторону. По условию точка B лежит в первой четверти, то есть обе ее координаты положительны. Значит во-первых, у C не могут быть координаты $левая круглая скобка минус 8; 2 правая круглая скобка ,$ а во-вторых, из точек $левая круглая скобка 2; 17 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 2; минус 13 правая круглая скобка$ на роль B надо выбирать первую. Тогда $x_0 плюс y_0=2 плюс 17=19.$

Ответ: 19.

Источник: ЗНО 2019 року з математики — основна сесія

Методы геометрии: Метод координат

Классификатор планиметрии: Задачи, где в условии векторы или координаты, Треугольник

Спрятать решение