СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 34 № 3560 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 8\.1\. Целые уравнения, неравенства, системы с параметром, 8\.9\. Задачи с параметром, решаемые косвенными способами

Методы алгебры: Графическое решение алгебраических задач

Задачі з параметром. Системи з параметром

Задана система неравенств

$система выражений a плюс 3x меньше или равно 12,a плюс 4x больше или равно x в квадрате ,a меньше или равно x конец системы .$

где x  — переменная, a  — параметр.

1.  Решите систему неравенств при $a=0.$

2.  Найдите все значения параметра a, при каждом из которых решением системы неравенств является отрезок длиной 2.

Решение. Решите систему неравенств при $a=0:$

$система выражений 3x меньше или равно 12,4x больше или равно x в квадрате ,0 меньше или равно x конец системы . равносильно система выражений x меньше или равно 4, x левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка меньше или равно 0,x больше или равно 0, конец системы . равносильно 0 меньше или равно x меньше или равно 4.$ $система выражений 3x меньше или равно 12,4x больше или равно x в квадрате ,0 меньше или равно x конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x меньше или равно 4, x левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка меньше или равно 0,x больше или равно 0, конец системы . равносильно 0 меньше или равно x меньше или равно 4.$ $система выражений 3x меньше или равно 12,4x больше или равно x в квадрате ,0 меньше или равно x конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений x меньше или равно 4, x левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка меньше или равно 0,x больше или равно 0, конец системы . равносильно$
$равносильно 0 меньше или равно x меньше или равно 4.$

Вернемся ко второму пункту. Изобразим в системе координат xOa множество точек, координаты которых являются решением системы. Это множество точек одновременно лежащих не выше прямой $a= минус 3x плюс 12,$ не выше прямой $a=x$ и не ниже параболы $a=x в квадрате минус 4x.$

Осталось определить, при каких значениях параметра решением будет являться горизонтальный отрезок длиной 2 (см. рис.). Найдем абсциссы концов верхнего отрезка: $x = a,$ $x = 4 минус дробь: числитель: a, знаменатель: 3 конец дроби .$ Абсциссы концов нижнего отрезка найдем из уравнения $x в квадрате минус 4x минус a = 0,$ получим $x = 2 \pm корень из: начало аргумента: 4 плюс a конец аргумента .$ Разность абсцисс концов отрезков должна быть равна двум, имеем:

$4 минус дробь: числитель: a, знаменатель: 3 конец дроби минус a = 2 равносильно a= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ,$

$1 плюс корень из: начало аргумента: 4 плюс a конец аргумента минус левая круглая скобка 1 минус корень из: начало аргумента: 4 плюс a конец аргумента правая круглая скобка = 2 равносильно корень из: начало аргумента: 4 плюс a конец аргумента = 1 равносильно a = минус 3.$ $1 плюс корень из: начало аргумента: 4 плюс a конец аргумента минус левая круглая скобка 1 минус корень из: начало аргумента: 4 плюс a конец аргумента правая круглая скобка = 2 равносильно$
$равносильно корень из: начало аргумента: 4 плюс a конец аргумента = 1 равносильно a = минус 3.$