СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 32 № 3507 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 1\.6\. Угол между плоскостями, 3\.2\. Правильная треугольная пирамида

Стереометрія. 2 частина

Відповідно до умови завдання 31 (№ 3506) Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює 3. Бічні ребра нахилені до основи під кутом α.

а) Зобразіть на малюнку цю піраміду та побудуйте двогранний кут при боковому ребрі.

б) Знайдіть цей кут.

Решение. Сразу заметим, что это та же самая пирамида, что в предыдущей задаче. Построим линейный угол двугранного угла при боковом ребре. В плоскости боковой грани SAB проведём перпендикуляр AK к ребру SB. Соединим точки C и K. Треугольники SKA и SKC равны по двум сторонам и углу между ними: сторона SK общая, стороны SA и SC равны как боковые ребра правильной пирамиды, угол ASK равен углу CSK как плоские углы при вершине правильной пирамиды. Соответственные элементы равных треугольников равны, поэтому AK  =  KC, а значит, треугольник AKC равнобедренный. Кроме того $\angle SKC=\angle SKA = 90 градусов,$ то есть прямые AK и CK суть перпендикуляры к ребру двугранного угла между плоскостями SBA и SBC, а потому угол AKC  — линейный угол двугранного угла при боковом ребре. Обозначим его δ.

Проведём MK  — высоту, медиану и биссектрису треугольника AKС и выразим длину этого отрезка из прямоугольных треугольников KBM и KMC, получим:

$MK = MC\ctg\angleMKC=MC\ctg дробь: числитель: дельта , знаменатель: 2 конец дроби ,$

$MK=MB синус \angleMBK=MB синус альфа .$

Таким образом, $MB синус альфа =MC\ctg дробь: числитель: дельта , знаменатель: 2 конец дроби ,$ откуда

$\ctg дробь: числитель: дельта , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: MB, знаменатель: MC конец дроби синус альфа равносильно дробь: числитель: дельта , знаменатель: 2 конец дроби =\arcctg левая круглая скобка \ctg\angleMBC синус альфа правая круглая скобка равносильно$
$равносильно дельта =2\arcctg левая круглая скобка \ctg30 градусов синус альфа правая круглая скобка равносильно дельта =2\arcctg левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус альфа правая круглая скобка .$ $\ctg дробь: числитель: дельта , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: MB, знаменатель: MC конец дроби синус альфа равносильно дробь: числитель: дельта , знаменатель: 2 конец дроби =\arcctg левая круглая скобка \ctg\angleMBC синус альфа правая круглая скобка равносильно$
$равносильно дельта =2\arcctg левая круглая скобка \ctg30 градусов синус альфа правая круглая скобка равносильно$
$равносильно дельта =2\arcctg левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус альфа правая круглая скобка .$ $\ctg дробь: числитель: дельта , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: MB, знаменатель: MC конец дроби синус альфа равносильно$
$равносильно дробь: числитель: дельта , знаменатель: 2 конец дроби =\arcctg левая круглая скобка \ctg\angleMBC синус альфа правая круглая скобка равносильно$
$равносильно дельта =2\arcctg левая круглая скобка \ctg30 градусов синус альфа правая круглая скобка равносильно$
$равносильно дельта =2\arcctg левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус альфа правая круглая скобка .$

Ответ: 1) см. рис.; 2) $2\arcctg левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус альфа правая круглая скобка .$

3507

1) см. рис.; 2) $2\arcctg левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус альфа правая круглая скобка .$

Классификатор алгебры: 1\.6\. Угол между плоскостями, 3\.2\. Правильная треугольная пирамида

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3507	1) см. рис.; 2) $2\arcctg левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус альфа правая круглая скобка .$