СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 31 № 3490 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: 3\.2\. Правильная треугольная пирамида, 4\.2\. Объем многогранника

Методы алгебры: Теорема Пифагора

Стереометрія. 1 частина

Бічні ребра правильної трикутної піраміди дорівнюють 5. Плоский кут при вершині дорівнює γ.

1.  Зобразіть на малюнку цю піраміду та кут γ.

2.  Знайдіть площу основи.

3.  Знайдіть об'єм піраміди.

Решение. Пусть SABC  — правильная треугольная пирамида с вершиной S и основанием АВС, точка О  — центр основания. Угол BSC  — плоский угол при вершине. Обозначим его γ.

Проведем апофему SL боковой грани SBC. Поскольку треугольник BSC равнобедренный, то высота SL, проведенная к основания, является медианой. Выразим BL из прямоугольного треугольника BSL , получим:

$BL=BS умножить на синус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби =5 синус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби .$

Тогда $BC=2BL=10 синус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби .$ Найдём площадь равностороннего треугольника, лежащего в основании:

$S= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби BC в квадрате =25 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби .$

Радиус вписанной в основание окружности равен $OL= дробь: числитель: BC, знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: 3 конец дроби .$ Апофема треугольника BSC равна

$SL=BS умножить на косинус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби =5 косинус дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби .$

Высоту пирамиды SO найдем по теореме Пифагора:

$SO= корень из: начало аргумента: SL в квадрате минус OL в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 25 косинус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 75 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: 9 конец дроби конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 225 косинус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби минус 75 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: 9 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 9 косинус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби минус 3 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$ $SO= корень из: начало аргумента: SL в квадрате минус OL в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 25 косинус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 75 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: 9 конец дроби конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 225 косинус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби минус 75 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: 9 конец дроби конец аргумента =$
$= дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 9 косинус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби минус 3 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$ $SO= корень из: начало аргумента: SL в квадрате минус OL в квадрате конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 25 косинус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 75 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: 9 конец дроби конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 225 косинус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби минус 75 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: 9 конец дроби конец аргумента =$
$= дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 9 косинус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби минус 3 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$

Таким образом, объем пирамиды равен

$V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S умножить на SO= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 25 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 9 косинус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби минус 3 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 125 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 9 косинус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби минус 3 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента , знаменатель: 12 конец дроби .$ $V= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S умножить на SO=$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 25 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 9 косинус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби минус 3 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби =$
$= дробь: числитель: 125 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 9 косинус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби минус 3 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента , знаменатель: 12 конец дроби .$

Ответ: 1) см. рис.; 2) $25 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби ;$ 3) $дробь: числитель: 125 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 9 косинус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби минус 3 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента , знаменатель: 12 конец дроби .$

3490

1) см. рис.; 2) $25 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби ;$ 3) $дробь: числитель: 125 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 9 косинус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби минус 3 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента , знаменатель: 12 конец дроби .$

Классификатор алгебры: 3\.2\. Правильная треугольная пирамида, 4\.2\. Объем многогранника

Методы алгебры: Теорема Пифагора

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	3490	1) см. рис.; 2) $25 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби ;$ 3) $дробь: числитель: 125 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 9 косинус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби минус 3 синус в квадрате дробь: числитель: гамма , знаменатель: 2 конец дроби конец аргумента , знаменатель: 12 конец дроби .$