СКЛАДУ ЗНО — математика

Задания

Тип 32 № 1324 Добавить в вариант

Источник: ЗНО 2021 року з математики — пробний тест

Классификатор алгебры: 1\.6\. Угол между плоскостями, 3\.3\. Правильная четырёхугольная пирамида

Стереометрія. 2 частина

У правильній чотирикутній піраміді SABCD плоский кут при вершині S піраміди дорівнює β. Довжина апофеми піраміди дорівнює 6.

1. Зобразіть на рисунку задану піраміду й укажіть лінійний кут γ двогранного кута при її бічному ребрі. Обґрунтуйте його положення.

2. Визначте кут γ.

Решение. Сразу заметим, что это та же самая пирамида, что в предыдущей задаче. Опустим высоты из A и C на ребро SB. Они упадут в одну точку, поскольку треугольники ABS и CBS равны. Обозначим эту точку за H. Тогда

$AH= дробь: числитель: 2S_ASB, знаменатель: SB конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби SM умножить на AB, знаменатель: SB конец дроби = дробь: числитель: SM умножить на AB, знаменатель: SB конец дроби =$
$=6 умножить на дробь: числитель: AB, знаменатель: SB конец дроби =12 умножить на дробь: числитель: MB, знаменатель: SB конец дроби =12 синус дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби .$ $AH= дробь: числитель: 2S_ASB, знаменатель: SB конец дроби = дробь: числитель: 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби SM умножить на AB, знаменатель: SB конец дроби =$
$= дробь: числитель: SM умножить на AB, знаменатель: SB конец дроби =6 умножить на дробь: числитель: AB, знаменатель: SB конец дроби =$
$=12 умножить на дробь: числитель: MB, знаменатель: SB конец дроби =12 синус дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби .$ $AH= дробь: числитель: 2S_ASB, знаменатель: SB конец дроби =$
$= дробь: числитель: 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби SM умножить на AB, знаменатель: SB конец дроби =$
$= дробь: числитель: SM умножить на AB, знаменатель: SB конец дроби =6 умножить на дробь: числитель: AB, знаменатель: SB конец дроби =$
$=12 умножить на дробь: числитель: MB, знаменатель: SB конец дроби =12 синус дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби .$

Кроме того,

$AC= корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс BC в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс AB в квадрате конец аргумента =$
$=AB корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =12 тангенс дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби умножить на корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ $AC= корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс BC в квадрате конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: AB в квадрате плюс AB в квадрате конец аргумента =$
$=AB корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =12 тангенс дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби умножить на корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

Найдем теперь угол в треугольнике ACH по теореме косинусов. Предварительно разделим все стороны на $12 тангенс дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби ,$ от этого треугольник заменится на подобный, поэтому углы не изменятся. У нового треугольника стороны будут $корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , косинус дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби , косинус дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби$ и тогда

$2= косинус в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби плюс косинус в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби минус 2 косинус дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус гамма , равносильно$
$равносильно 2=2 косинус в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби минус 2 косинус дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус гамма равносильно$
$равносильно 1 минус косинус в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби = минус косинус в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус гамма равносильно синус в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби = минус косинус в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус гамма равносильно$
$равносильно косинус гамма = минус тангенс в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби равносильно гамма = арккосинус левая круглая скобка минус тангенс в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$ $2= косинус в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби плюс косинус в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби минус 2 косинус дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус гамма , равносильно$
$равносильно 2=2 косинус в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби минус 2 косинус дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус гамма равносильно$
$равносильно 1 минус косинус в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби = минус косинус в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус гамма равносильно$
$равносильно синус в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби = минус косинус в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус гамма равносильно$
$равносильно косинус гамма = минус тангенс в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби равносильно гамма = арккосинус левая круглая скобка минус тангенс в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$ $2= косинус в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби плюс косинус в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби минус 2 косинус дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус гамма , равносильно$
$равносильно 2=2 косинус в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби минус 2 косинус дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус гамма равносильно$
$равносильно 1 минус косинус в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби = минус косинус в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус гамма равносильно$
$равносильно синус в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби = минус косинус в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби косинус гамма равносильно$
$равносильно косинус гамма = минус тангенс в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно гамма = арккосинус левая круглая скобка минус тангенс в квадрате дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Ответ: 1) див. рисунок; 2) $гамма = 2 арксинус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 2 косинус дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби конец дроби правая круглая скобка .$

1324

1) див. рисунок; 2) $гамма = 2 арксинус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 2 косинус дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби конец дроби правая круглая скобка .$

Источник: ЗНО 2021 року з математики — пробний тест

Классификатор алгебры: 1\.6\. Угол между плоскостями, 3\.3\. Правильная четырёхугольная пирамида

Методы алгебры: Теорема косинусов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1324	1) див. рисунок; 2) $гамма = 2 арксинус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 2 косинус дробь: числитель: бета , знаменатель: 2 конец дроби конец дроби правая круглая скобка .$